Enunciado

Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .

b) 2 x 2 - 3 y 2 = 5 x y

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que y = f ( x ) é definida pela equação F x , y = 0 . Assim,

F x , y = 2 x 2 - 3 y 2 - 5 x y

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ z = 0

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = 4 x - 5 y

∂ F ∂ y = - 6 y - 5 x

Passo 2

Por fim, calculando a derivada d y d x :

d y d x = - ( 4 x - 5 y ) ( - 6 y - 5 x )

d y d x = 4 x - 5 y 6 y + 5 x

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = 4 x - 5 y 6 y + 5 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4. Suponha que, para todo t , f t 2 ,2 t = t 3 - 3 t . mostre que ∂ f ∂ x 1,2 = - ∂ f ∂ y 1,2 .
16. Seja z = u f u - v ,u + v . Verifique que u ∂ z ∂ u + u ∂ z ∂ v = z + 2 u 2 ∂ f ∂ y
Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 . z = s e n ( x y ) , x = 3 t , y = t 2
12. Considere a função F x , y = f x y , y x . Mostre que x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ v = 0
10. Seja z = f ( u + 2 v ,u 2 - v ) . Expresse ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v em termo de derivadas parciais de f