Enunciado

Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.

13)   lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 2 ,     lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = - 2 ,       f 1 = 2  

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar um gráfico que satisfaça as seguintes condições:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 2

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = - 2

f 1 = 2

O enunciado também quer que demos um exemplo de uma função f que satisfaça essas condições.

Para isso, perceba que estamos trabalhando com limites laterais. Mas o que são esses limites laterais???

Bom... referem-se aos valores que uma função se aproxima à medida que a variável de entrada se aproxima de um determinado ponto a partir de um lado específico.

Se a função se aproxima de um valor específico à medida que a variável de entrada se aproxima do ponto a partir do lado direito, é chamado de limite lateral direito.

Da mesma forma, se a função se aproxima de um valor específico à medida que a variável de entrada se aproxima do ponto a partir do lado esquerdo, é chamado de limite lateral esquerdo.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Repara que os limites laterais são diferentes, então vamos escrever uma função que descreva seu comportamento a esquerda e outra para descrever o seu comportamento a direita.

Muito bem, quando a função se aproxima de 1 pela esquerda, a função tende a 2 . E quando a função vale exatamente 1 ela é igual a 2 . Deste modo, podemos descrever essa parte assim

f x = x + 1 ,   s e   x ≤ 1

Analisando pela direita, a função ao se aproximar de 1 o x vai se aproximar de - 2 . Então por este lado podemos dizer que ela tem esse comportamento:

f x = - 2 x   ,   s e   x > 1

Passo 3

Combinando as duas equações, assumimos que a função seja:

f x = x + 1 ,   s e   x ≤ 1 - 2 x   ,   s e   x > 1

E o gráfico:

Galerinha, a gente poderia escrever diversas funções como resposta para esse problema, mas temos que ficar atento se ela atende as condições que o enunciado pede.

Resposta

f x = x + 1 ,   s e   x ≤ 1 - 2 x   ,   s e   x > 1

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