Enunciado

Dado que

lim x → 2 ⁡ 5 x - 7 = 3

ilustre a Definição 2 encontrando valores de δ que correspondam a ε = 0,1 , ε = 0,05 e ε = 0,01 .

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 7 = 3

Precisamos achar o δ para ε = 0,1 , ε = 0,05 e ε = 0,01 usando a definição 2.

Essa definição nos diz o seguinte:

“Seja f uma função definida em algum intervalo o aberto que contenha o número a, exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f x quando x tende a a é L , e escrevemos:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .”

Dessa forma, basta substituirmos os valores de ε dados para encontrarmos os valores de δ correspondentes.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,1

O que implica em:

2,9 < 5 x - 7 < 3,1 se 0 < x - 2 < δ

Passo 3

Se plotarmos o gráfico de y = 2,9 , y = 3,1 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,98 ≤ x ≤ 2,02

A ideia desse gráfico é de verificarmos o que acontece quando vamos alterando o valor de ε .

Fica ligado nos demais gráficos que vamos plotando nessa questão!! 😉

Passo 4

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,98 = 0,02 , e a distância até a extremidade direita é 2,02 - 2 = 0,02 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,02 .

Embora tenhamos escolhido δ = 0,02 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 5

Para ε = 0,05 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,05

O que implica em:

2,95 < 5 x - 7 < 3,05 se 0 < x - 2 < δ

Passo 6

Se plotarmos o gráfico de y = 2,95 , y = 3,05 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,99 ≤ x ≤ 2,01

Passo 7

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,99 = 0,01 , e a distância até a extremidade direita é 2,01 - 2 = 0,01 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,01 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,01 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 8

Para ε = 0,01 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,01

O que implica em:

2,99 < 5 x - 7 < 3,01 se 0 < x - 2 < δ

Passo 9

Se plotarmos o gráfico de y = 2,99 , y = 3,01 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,998 ≤ x ≤ 2,002

Perceba que à medida que fomos alterando o valor de ε , o valor do limite foi se aproximando do seu real valor!! 😉

Passo 10

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,998 = 0,002 , e a distância até a extremidade direita é 2,002 - 2 = 0,002 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,002 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,002 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.24) lim x → 5 ⁡ - 4 = - 4
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.23) lim x → 2 ⁡ 7 = 7
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.25) lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 = 9
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.30) lim x → - 4 ⁡ 2 x + 7 = - 1
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.27) lim x → - 1 ⁡ 5 x + 8 = 3