Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 3 = 2

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos utilizar da definição de limites para resolver essa atividade.

A definição diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando para todo número ε > 0 , existe um número δ > 0 tal que: se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Passo 2

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - ( - 2 ) < δ

Então temos que:

1 2 x + 3 - 2 < ε

Vamos agora simplificar isso:

1 2 x + 3 - 2 < ε  

1 2 x + 2 < ε

x - ( - 2 ) < 2 ε

O que nos mostra que se:

0 < x - ( - 2 ) < δ

Então:

x - ( - 2 ) < 2 ε

Passo 3

Isso nos dá que se nós escolhermos δ = 2 ε , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x - - 2 < δ

x - - 2 < 2 ε

x - - 2 2 < ε

x 2 + 1 < ε

x 2 + 1 < ε

1 2 x + 3 - 2 < ε

Portanto, temos o limite

lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 3 = 2

pelo limite da definição.

Passo 4

Aqui temos o diagrama:

Resposta

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