Enunciado

Suponha que lim x → a ⁡ f x = ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é um número real. Demonstre cada afirmação.

  1. lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞
  2. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = ∞   se c > 0
  3. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = - ∞ se c < 0

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui a gente tem que demonstrar alguns itens tembrando que:

lim x → a ⁡ f x = ∞

lim x → a ⁡ g x = c

  1. lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞
  2. Vamos supor um dado M . Desde que exista lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 1 > 0 tal que

    0 < x - a < δ 1 → f x > M + 1 - c

    Desde que lim x → a ⁡ g x = c , existe δ 2 > 0 , tal que

    0 < x - a < δ 2 → g x - c < 1 → g x > c - 1

    Vamos supor que δ é menor que δ 1 e δ 2 , então:

    0 < x - a < δ

    f x + g x > M + 1 - c + c - 1 = M

    Visto isso, lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞ .

    Passo 2

  3. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = ∞   se c > 0

Vamos supor um dado M > 0 . Desde que lim x → a ⁡ g x = c > 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 → g x - c < c 2 → g x > c 2

Desde que lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2 → f x > 2 M c

Se temos δ = min ⁡ δ 1 , δ 2 , então:

0 < x - a < δ

f x g x > 2 M c c 2 = M

Visto isso,   lim x → a ⁡ f x g x = ∞

Passo 2

  1. (c)   lim x → a ⁡ [ f x g x ] = - ∞ se c < 0

Vamos supor um dado N > 0 . Desde que lim x → a ⁡ g x = c < 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 → g x - c < - c 2 → g x < c 2

Desde que lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2 → f x > 2 N c

Se temos δ = min ⁡ δ 1 , δ 2 , então:

0 < x - a < δ

f x g x < 2 N c c 2 = N

Visto isso:

lim x → a ⁡ f x g x = - ∞

Prontinho!

Resposta

Demonstração.

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