Enunciado

Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1000 m de cerca.

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Sempre esses exercícios precisam da sua boa interpretação de texto. No caso, precisamos de 1000 metros de cerca, no máximo, pra limitar um campo retangular, certo?

Passo 2

Como um retângulo tem 2 pares de lados, iguais entre si, vamos chamá-los de x (lado menor) e y (lado maior).

Como um dos lados do retângulo não será cercado, por ali passar um córrego, o total de cerca que nós precisamos, escrito em função de x e y vai ser:

2 x + y = 1000

y

x

x

Você já sabe que a área do retângulo é lado vezes lado. Escrevendo isso em função de x e y temos a área A :

x ∙ y = A

Por fim, vamos escrever a área A como uma função apenas de x , isolando y na primeira equação. Teremos:

y = 1000 - 2 x

Substituindo isso na equação da área:

x ∙ ( 1000 - 2 x ) = A ( x )

A x = 1000 x - 2 x 2

Passo 3

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, A ( x ) é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado x ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! O valor de x que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de x , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Passo 4

Derivando, temos:

A ' x = - 4 x + 1000

Igualamos isso a zero:

- 4 x + 1000 = 0

4 x = 1000

∴ x = 250

Então, esse é o valor de x , lado menor do retângulo que se quer cercar, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos x , mas ainda precisamos de y . Calculamos facilmente pela primeira equação!

y = 1000 - 2 x

y = 1000 - 2 ∙ 250

∴ y = 500

Resposta

São as dimensões x = 250   m e y = 500   m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere? f x = x 5 - 5 x + 3
(a) Encontre os números críticos de f x = x 4 x - 1 3 .(b) O que o Teste da Segunda derivada mostra para você sobre o comportamento de f nesses números críticos?(c) O que mostra o Teste da Primeira de
18)(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f .(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão: f x = xe - x
(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato. f x = x 2 e
(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato. f x = x + 1