Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula |12| : D_x[cosech^(-1) u] = -1 / (|u| raiz(1 + u^2)) D_x u , 0 < u < 1

Passo 1

Primeiramente, temos que acha uma expressão melhor para a secante hiperbólica inversa.

co sech - 1 ⁡ x = y

x = co sech ⁡ y

Teremos

x = 1 senh ⁡ y

senh ⁡ y = 1 x

y = senh - 1 ⁡ 1 x

Então

cosech - 1 ⁡ x = senh - 1 ⁡ 1 x

E podemos derivar direto usando a regra da cadeia.

cosech - 1 ⁡ u = senh - 1 ⁡ 1 u

Passo 2

Lembrando que:

senh - 1 ⁡ u ' = 1 u 2 + 1 u '

Com o 1 u no lugar de u

cosech - 1 ⁡ u ' = senh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 u 2 + 1 1 u '

cosech - 1 ⁡ u ' = senh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 u 2 + 1 - 1 u 2 u '

Arrumando aquela raiz:

1 u 2 + 1 = 1 u 2 + 1 = 1 + u 2 u 2 = 1 + u 2 u 2

Lembrando que

u 2 = u

Dando

1 + u 2 u

sech - 1 ⁡ u ' = cosh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 + u 2 u - 1 u 2 u '

Podemos escrever

u 2 = u 2

Para poder simplificar

co sech - 1 ⁡ u ' = sen h - 1 ⁡ 1 u ' = - 1 u u 2 + 1 u '

Passo 3

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D x cosech - 1 ⁡ u = - 1 u 1 + u 2 D x u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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