Enunciado

Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = x , y = 6 e y = 0 gira em torno do eixo x . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]

Passo 1

Bom galera, vamos começar observando o gráfico das nossas funções:

Assim, temos que no intervalo 0 ≤ x ≤ 4 , nós somos delimitados à esquerda por x , e à direita pelo eixo x . E no intervalo de 4 ≤ x ≤ 6 nós somos delimitados por 6 - x na esquerda e pelo eixo x na direita.

Passo 2

Belezinha, então o volume é a soma de duas integrais:

V = π ∫ 0 4 x 2 d x + π ∫ 4 6 6 - x 2 d x

→ V = π ∫ 0 4 x   d x + π ∫ 4 6 36 - 12 x + x 2   d x

Passo 3

Por fim, resolvemos as integrais e calculamos o resultado:

V = π ∫ 0 4 x   d x + π ∫ 4 6 36 - 12 x + x 2   d x

= π x 2 2 0 4 + 36 x - 6 x 2 + x 3 3 4 6

= π 8 + 8 3 = 32 3 π

Resposta

32 3 π

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Seja R a região englobada pelas curvas y = x 2 + 4 , y = x 3 e o eixo y . Encontre e calcule uma integral definida que represente o volume do sólido obtido quando R gira em torno do eixo x .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.
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