Livros Resolvidos Passo a Passo
Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 13.1 - 49

Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t → a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.

(a) lim t → a ⁡ u t + v t = lim t → a ⁡ u t + lim t → a ⁡ v t

(b) lim t → a ⁡ c u t = c lim t → a ⁡ u t

(c) lim t → a ⁡ [ u t   .     v t ] = lim t → a ⁡ u t   .     lim t → a ⁡ v t

(d) lim t → a ⁡ [ u t ×   v t ] = lim t → a ⁡ u t ×   lim t → a ⁡ v t

Passo 1

Beleza, galera? Pra demonstrar cada propriedade, o principal é saber a definição do limite de uma função vetorial:

u t = x , y , z ⇒   lim t → a ⁡ u t = lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z

v t = x ' , y ' ,   z ' ⇒   lim t → a ⁡ v t = lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z '

(a) Então vamos começar com a propriedade da soma:

lim t → a ⁡ u t + v t = lim t → a ⁡ [ x , y , z + x ' , y ' ,   z ' ] = lim t → a ⁡ x + x ' ,   y + y ' , z + z ' = ( lim t → a ⁡ x + x ' ,   lim t → a ⁡ y + y ' ,   lim t → a ⁡ z + z ' ) =   lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z + lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z ' = lim t → a ⁡ u t + lim t → a ⁡ v t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Agora, a propriedade da multiplicação por escalar:

lim t → a ⁡ c u t = lim t → a ⁡ c ( x , y , z ) = lim t → a ⁡ c x , c y , c z = ( lim t → a ⁡ c x ,   lim t → a ⁡ c y ,   lim t → a ⁡ c z ) = c lim t → a ⁡ x , c lim t → a ⁡ y   ,   c lim t → a ⁡ z = c lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z = c lim t → a ⁡ u t

Passo 3

(c) Show! Agora a propriedade do produto escalar:

lim t → a ⁡ [ u t   .     v t ] = lim t → a ⁡ x , y , z   .   x ' , y ' , z ' = lim t → a ⁡ ( x . x ' + y . y ' + z . z ' ) = lim t → a ⁡ x   .     lim t → a ⁡ x ' + lim t → a ⁡ y   .     lim t → a ⁡ y ' + lim t → a ⁡ z   .     lim t → a ⁡ z ' = lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z   .     lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z ' = lim t → a ⁡ u t   .     lim t → a ⁡ v t

Passo 4

(d) E por último, a propriedade do produto vetorial:

lim t → a ⁡ u t ×   v t = lim t → a ⁡ [ ( x , y , z ) × ( x ' , y ' , z ' ) ] = lim t → a ⁡ y z ' - z y ' ,   z x ' - x z ' ,   x y ' - y x ' = ( lim t → a ⁡ y z ' - z y ' ,   lim t → a ⁡ z x ' - x z '   ,   lim t → a ⁡ x y ' - y x ' ) =

= lim t → a ⁡ y lim t → a ⁡ z ' - lim t → a ⁡ z lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z   lim t → a ⁡ x ' - lim t → a ⁡ x lim t → a ⁡ z '   ,   lim t → a ⁡ x   lim t → a ⁡ y ' - lim t → a ⁡ y   lim t → a ⁡ x ' = lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z × lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z ' = lim t → a ⁡ u t ×   lim t → a ⁡ v t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas