Enunciado

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta

f x ,   y = 0,1 e - 0,5 x + 0,2 y ,     s e   x ≥ 0   ,   y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Verifique que f é de fato uma função densidade conjunta.

(b) Determine as seguintes probabilidades.

(i) P Y ≥ 1 (ii) P X ≤ 2 , Y ≤ 4

(c) Determine os valores esperados de X e Y .

Passo 1

(a) Galera, pra f ser realmente uma função densidade conjunta, lembre-se que devemos ter:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

Calculando a integral, obtemos:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ e - 0,2 y d y = 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 0 ∞ = 0,1 0 + 1 0,5 0 + 1 0,2 = 1

Então f é realmente uma função densidade conjunta.

Passo 2

(b) Agora vamos calcular as seguintes probabilidades:

P Y ≥ 1 = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 1 ∞ e - 0,2 y d y = 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 1 ∞ = 0,1 0 + 1 0,5 0 + e - 0,2 0,2 = e - 0,2

P X ≤ 2 , Y ≤ 4 = ∫ 0 2 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 4 e - 0,2 y d y = 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 2   .   - e - 0,2 y 0,2 0 4 = 0,1 - e - 1 0,5 + 1 0,5 - e - 0,8 0,2 + 1 0,2 = 1 - e - 1 1 - e - 0,8 = 1 - e - 0,8 - e - 1 + e - 1,8

Passo 3

(c) Vamos agora calcular E X e E Y , os valores esperados para X e Y , respectivamente:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 x e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ e - 0,2 y d y = 0,1 - x e - 0,5 x 0,5 - e - 0,5 x 0,25 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 0 ∞ = 0,1 0 + 1 0,25 0 + 1 0,2 = 2

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ y e - 0,2 y d y = 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - y e - 0,2 y 0,2 - e - 0,2 y 0,4 0 ∞ = 0,1 0 + 1 0,5 0 + 1 0,4 = 0 , 5

Resposta

(b) P Y ≥ 1 = e - 0,2 P X ≤ 2 , Y ≤ 4 = 1 - e - 0,8 - e - 1 + e - 1,8

(c) E X = 2

E Y = 0 , 5

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