Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n x - 1 n  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = - 1 n 2 n - 1 2 n x - 1 n

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 2 n + 1 x - 1 n + 1 2 n - 1 2 n - 1 n x - 1 n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos

lim n → ∞ ⁡ - 1 n - 1 2 n + 2 - 1 2 n 2 x - 1 n ( x - 1 ) 2 n - 1 2 n - 1 n x - 1 n

lim n → ∞ ⁡ - 1 2 ( x - 1 ) 2 n - 1 2 n + 1

Colocando n em evidência e a constante - 1 / 2 para fora do limite, obtemos

1 2 lim n → ∞ ⁡ ( x - 1 ) 2 - 1 / n 2 + 1 / n = 1 2 | x - 1 |

Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que L < 1 . Para que essa condição seja satisfeita, temos que

1 2 | x - 1 | < 1

Logo, x - 1 < 2 .

Portanto, o raio de convergência R = 2 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

A desigualdade x - 1 < 2 pode ser escrita como - 1 < x < 3 , assim testamos a série nas extremidades -1 e 3.

Para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n - 1 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n - 2 n

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 - 2 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 n - 1

∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

Esta série converge pelo Teste da Comparação. Solução:

Vamos comparar a série a n   acima com a série b n = ∑ 1 / 2 n . Sabemos que b n   diverge por ser uma série p com p ≤ 1 .

Temos que

1 2 n - 1 ≥ 1 2 n

pois 2 n - 1 ≤ 2 n e o valor do numerador é a constante 1 para ambos os termos. Como b n é divergente e a n ≥ b n , a n também será divergente.

Para x = 3 , temos que

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n 3 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n 2 n

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1

Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:

b n = 1 2 n - 1

Primeira condição:

i   b n + 1 ≤ b n

Essa condição é satisfeita pois

1 2 ( n + 1 ) - 1 ≤ 1 2 n - 1

1 2 n + 1 ≤ 1 2 n - 1

uma vez que 2 n + 1 ≥ 2 n - 1 e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.

Segunda condição:

i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 = 0

Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Logo, o intervalo de convergência é

( - 1,3 ]

Resposta

R = 2

( - 1,3 ]

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