Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 16
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Através do enunciado, vemos que
No Teste da Razão, temos que
onde
Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que
Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos
Colocando em evidência e a constante para fora do limite, obtemos
Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que . Para que essa condição seja satisfeita, temos que
Logo, .
Portanto, o raio de convergência .
Passo 2
Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.
A desigualdade pode ser escrita como , assim testamos a série nas extremidades -1 e 3.
Para , temos que
Esta série converge pelo Teste da Comparação. Solução:
Vamos comparar a série acima com a série . Sabemos que diverge por ser uma série com .
Temos que
pois e o valor do numerador é a constante 1 para ambos os termos. Como é divergente e , também será divergente.
Para , temos que
Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:
Primeira condição:
Essa condição é satisfeita pois
uma vez que e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.
Segunda condição:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.
Logo, o intervalo de convergência é