Enunciado

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cone sólido x 2 + y 2 ≤ z ≤ h .

Passo 1

O momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

As variações de x e y são dadas por x 2 + y 2 ≤ h ⇒ x 2 + y 2 ≤ h 2

Como a densidade ρ = k

= k ∭ E x 2 + y 2   d V = k ∬ D ∫ x 2 + y 2 h x 2 + y 2 d z d A

= k ∬ D x 2 + y 2 h - x 2 + y 2 d A

A variação de x e y sai de x 2 + y 2 ≤ h 2 , se usarmos coordenadas polares temos

0 ≤ r ≤ h

0 ≤ θ ≤ 2 π

E a integral fica

k ∬ D x 2 + y 2 h - x 2 + y 2 d A = k ∫ 0 2 π ∫ 0 h r 2 ( h - r ) r   d r d θ

= 2 π k ∫ 0 h h r 3 - r 4   d r = 2 π k h 5 4 - h 5 5

= 2 π k h 5 20

I z = π k h 5 10

Resposta

I z = π k h 5 10

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