Enunciado

Um sólido está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z . Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.

Passo 1

Olá, tudo bem? Sabemos que o sólido satisfaz z ≥ x 2 + y 2 pois está acima do cone.

Elevando ao quadrado dos dois lados temos:

z 2 ≥ x 2 + y 2

E aqui vai um truque sujo! Somando z 2 aos dois lados temos:

2 z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2

E olha só o que apareceu do lado direito! ρ 2 ! Assim a desigualdade fica:

2 z 2 ≥ ρ 2

E como em coordenadas esféricas z = ρ   c o s ϕ podemos substituir na desigualdade:

cos 2 ⁡ ϕ ≥ 1 2

E tirando a raiz quadrada dos dois lados e racionalizando o lado direito vamos ter:

cos ⁡ ϕ ≥ 2 2

Ou seja! Como temos a parte de cima do cone, o ângulo ϕ vai variar de 0 até π / 4 !

Passo 2

Mas e ρ ? Bom, ele deve satisfazer essa relação:

ρ ≤ cos ⁡ ϕ

Pois o sólido está abaixo da esfera!

Então, em coordenadas esféricas temos:

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π / 4

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π / 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a massa do sólido delimitado pelos planos x + z = 1,x - z = - 1,y = 0 e pela superfície y = z . A densidade do solido é δ x , y , z = 2 y + 5 .
Massa: encontre a massa do sólido delimitado pelas superfícies parabólicas z = 16 - 2 x 2 - 2 y 2 e z = 2 x 2 + 2 y 2 , se a densidade do sólido for δ x , y , z = x 2 + y 2 .
Uma região sólida no primeiro octante é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x
Um sólido no primeiro octante é delimitado pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 e x = y 2 (veja a figura a seguir). Sua função de densidade é δ x , y , z = k x y , sendo k consta
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 2