Enunciado

11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,   y ) da função naquele ponto.

11. f x ,   y = 1 + x ln ⁡ x y - 5 ,   ( 2 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart isso só acontece se as derivadas parciais f x e f y existirem perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f x = 0 + ln ⁡ ( x y - 5 ) + x . y x y - 5

f x 2 ,   3 = ln ⁡ ( 2.3 - 5 ) + 2.3 2.3 - 5 = ln ⁡ 1 + 6 = 6

f y = 0 + x . x x y - 5

f y 2 ,   3 = 2.2 2.3 - 5 = 4

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas desde que x y > 5 , uma vez que o denominador não pode ser zero. Portanto, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f 2 ,   3 = 1 + 2 ln ⁡ 2.3 - 5 = 1

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = 1 + 6 x - 2 + 4 y - 3 = 1 + 6 x - 12 + 4 y - 12

∴ L x ,   y = 6 x + 4 y - 23

Resposta

L x ,   y = 6 x + 4 y - 23

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