Suponha que

∑ k = 1 n a k = - 5

∑ k = 1 n b k = 6

Determine os valores de

e.

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k )

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule o valor da somatória dada.

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k )

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k ) =   b 1 - 2 a 1 + b 2 - 2 a 2 + b 3 - 2 a 3 + … + ( b n - 2 a n )

Olha só, a k e b k são números reais, então eles são comutativos, ou seja, a gente pode reorganizar essa soma da seguinte forma.

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k ) = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n + ( - 2 a 1 - 2 a 2 - 2 a 3 - … - 2 a n )

Podemos colocar o ( - 2 ) em evidência

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k ) = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n - 2 ( a 1 + a 2 + a 3 + … + a n )

Olha só, agora temos duas somatórias, uma pra a e uma para b .

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k ) = ∑ k = 1 n ( b k ) - 2 ∑ k = 1 n ( a k )

Passo 3

Mas o enunciado nos dá que

∑ k = 1 n a k = - 5

e

∑ k = 1 n b k = 6

Então temos

∑ k = 1 n ( b k - 2 a k ) = ∑ k = 1 n ( b k ) - 2 ∑ k = 1 n a k = 6 - 2 ⋅ - 5 = 16

Resposta

O resultado da somatória é 16.

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