Encontre os limite:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ θ

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ θ = sen ⁡ sen ⁡ 0 0 = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com θ indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Aqui temos θ e sen ⁡ θ , não são iguais.

Precisamos fazer:

sen ⁡ sen ⁡ θ θ ∙ sen ⁡ θ sen ⁡ θ = sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ θ

Blz? Basicamente multiplicamos o numerador e o denominador por sen ⁡ θ , para não mudar a fração e aparecer o nosso amiguinho.

Terminamos com:

sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ θ

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ θ = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ θ

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ θ = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ

São dois limites fundamentais trigonométricos ali, ambos com o termo dentro do seno igual ao termo no denominador.

Assim, vamos acaba com:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ θ = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ θ sen ⁡ θ ∙ lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ = 1 ∙ 1

Resposta

1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados