Enunciado

Encontre os limite:

underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(theta)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(theta) = (sen (sen 0))/(0) = (sen 0)/(0) = (0)/(0)

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com theta indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Aqui temos theta e sen theta , não são iguais.

Precisamos fazer:

(sen (sen theta))/(theta) * (sen theta)/(sen theta) = (sen (sen theta))/(sen theta) * (sen theta)/(theta)

Blz? Basicamente multiplicamos o numerador e o denominador por sen theta , para não mudar a fração e aparecer o nosso amiguinho.

Terminamos com:

(sen (sen theta))/(sen theta) * (sen theta)/(theta)

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(sen theta) * (sen theta)/(theta)

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(sen theta) * (sen theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(sen theta) * underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta)

São dois limites fundamentais trigonométricos ali, ambos com o termo dentro do seno igual ao termo no denominador.

Assim, vamos acaba com:

underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (sen (sen theta))/(sen theta) * underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta) = 1 * 1

Resposta

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