Enunciado

  1. Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e ∑ b n seja convergente. Demonstre que se
  2. lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0

    então, ∑ a n também é convergente.

  3. Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
  1. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3
  2. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n   e n

Passo 1

  1. Se ( a n / b n ) → 0 a partir de um certo valor de n temos que b n > a n até que com um n suficientemente grande a divisão tende a zerar.
  2. Se a partir de um valor b n > a n , e a série ∑ b n é convergente, pelo teste da comparação ∑ a n também converge.

    Passo 2

  1. a n = ln ⁡ n n 3
  2. Para comparar, vamos usar

    b n = 1 n 2

    Calculando o limite

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 3 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 3 ⋅ n 2 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n

    Aplicando L’Hospital

    = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 = 0

    Como

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0

    E ∑ b n converge, pois é uma série-p com p = 2 , temos que

    ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

    Também converge.

    Passo 3

  3. a n = ln ⁡ n n   e n

Para comparar, vamos usar

b n = 1 e n

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n   e n 1 e n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n   e n ⋅ e n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n

Aplicando L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / 2 n

Fazendo a divisão de frações

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⋅ 2 n = lim n → ∞ ⁡ 2 n = 0

Como

lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0

E ∑ b n converge, pois é uma série geométrica com r = 1 / e , temos que

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n   e n

Também converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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