Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n^2 + 1))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1)/(sqrt(n^2 + 1))

Para comparar usaremos a série harmônica que é uma série muito próxima da que estamos analisando, se não tivéssemos o 1 somando na raiz

b_n = (1)/(n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(sqrt(n^2 + 1)))/((1)/(n))

Fazendo a divisão de frações

underset(n -> oo)(lim) ((1)/(sqrt(n^2 + 1)))/((1)/(n)) = underset(n -> oo)(lim) (n)/(sqrt(n^2 + 1))

Colocando n^2 em evidencia dentro da raiz

underset(n -> oo)(lim) (n)/(sqrt(n^2 + 1)) = underset(n -> oo)(lim) (n)/(sqrt(n^2 (1 + (1)/(n^2)))) = underset(n -> oo)(lim) (n)/(n sqrt((1 + (1)/(n^2))))

= underset(n -> oo)(lim) (1)/(sqrt((1 + (1)/(n^2)))) = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica nós sabemos que diverge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n^2 + 1))

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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