Enunciado

Suponha A um subconjunto fechado do R 2 e x 0 ,   y 0 um ponto de acumulação de A . Prove que x 0 ,   y 0 ∈ A

Passo 1

Suponha, por contradição, que x 0 ,   y 0 não está em A

Como x 0 ,   y 0 é ponto interior de A , dado um numero positivo, existe uma bola centrada nesse ponto, cuja interseção da bola sem o ponto é não vazia. Isto é,

  ∀   ϵ > 0   ,   B x 0 ,   y 0 ; ϵ - x 0 ,   y 0 ∩ A ≠ ∅

Como x 0 ,   y 0 não está em A , então x 0 ,   y 0 está no complementar de A . Como A   é fechado, o complementar C ( A ) é aberto. Ou seja, dado x 0 ,   y 0 em C ( A ) existe um r > 0   existe um número positivo tal que a bola centrada em x 0 ,   y 0 está totalmente contida em C A .   Simbolicamente,

∃   r > 0   ; B ( x 0 ,   y 0 ; r   )   ⊂ C A

Como ϵ é qualquer, podemos considerar

ϵ = r  

Daí,

B ( x 0 ,   y 0 ; r   )   ⊂ C A mas B x 0 ,   y 0 ; ϵ - x 0 ,   y 0 ∩ A ≠ ∅ o que é uma contradição.

Portanto, x 0 ,   y 0 ∈ A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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