Enunciado

Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D .

f x , y = x 3 - 3 x - y 3 + 12 y , D é um quadrilátero com vértices:

( - 2,3 ) , ( 2,3 ) , ( 2,2 ) e ( - 2 , - 2 )

Passo 1

Bom galera, vamos começar calculando os pontos críticos:

f x = 0

f y = 0

Pegando as derivadas parciais são:

f x = 3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

f y = - 3 y 2 + 12 = 0 → y = ± 2

Com isso, temos os pontos ( 1,2 ) , ( 1 , - 2 ) , ( - 1,2 ) e ( - 1 , - 2 ) .

Vamos olhar quais pontos estão dentro da região D :

São os pontos: ( - 1,2 ) e ( 1,2 ) .

Passo 2

Beleza, vamos calcular a função nesses pontos:

f - 1,2 = ( - 1 ) 3 - 3 - 1 - 2 3 + 12 2 = 14

f 1,2 = ( 1 ) 3 - 3 1 - 2 3 + 12 2 = 18

O maior valor é o 18 , então ele é nosso valor máximo, e o minimo é:

- 18

Resposta

Minimo: - 18

Máximo: 18

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