Enunciado

Suponha que 3 ≤ f ' ( x ) ≤ 5 para todos os valores de x . Mostre que 18 ≤ f 8 - f ( 2 ) ≤ 30 .

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! O enunciado nos diz que:

3 ≤ f ' ( x ) ≤ 5

Para todos os valores de x e pede pra a gente mostrar que 18 ≤ f 8 - f ( 2 ) ≤ 30 .

Iremos para essa atividade utilizar o Teorema do Valor Intermediário:

O Teorema do Valor Intermediário diz que:

Se f ( x ) é continua no intervalo fechado [ a , b ] e é diferençável no intervalo aberto ( a , b ) , então

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Se f é derivável para qualquer x , logo, f é derivável em ( 2,8 ) e contínua em [ 2,8 ] , assim, a hipótese do Teorema do Valor Médio foi satisfeita!

Dessa forma podemos dizer que:

f b - f a = f ' c b - a

Passo 2

Se 3 ≤ f ' ( x ) ≤ 5 para qualquer x , então, pelo Teorema do Valor Médio temos que:

f 8 - f 2 = f ' ( c ) ( 8 - 2 ) para algum c no intervalo [ 2,8 ]

Ou seja:

f 8 - f 2 = 6 f ' ( c )

Lembrando que:

3 ≤ f ' ( c ) ≤ 5

Logo:

6 3 ≤ 6 f ' ( c ) ≤ 6 5

18 ≤ 6 f ' ( c ) ≤ 30

Substituindo 6 f ' ( c ) :

18 ≤ f 8 - f 2 ≤ 30

Aweeee! Provamos!

Resposta

Desenvolvimento acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - x ; - 3 , 5
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - x ; [ 0 ,4 ]
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - 8 x + 15 ; [ 3 ,5 ]
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = l n ⁡ ( 4 + 2 x - x 2 ) ;
Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x - 1 x ; 3 , 4