Enunciado

Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f x = x 2 - x ; [ 0 ,   4 ]

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Então, essa função é definida, dentro dos reais, apenas para números positivos, então ela não é contínua em todo o conjunto dos reais, ok? Mas como estamos trabalhando no intervalo [ 0 ,   4 ] , em todo ele, a função é contínua. Além disso, no intervalo aberto ( 0 ,   4 ) não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = 1 2 - 1 2 x , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro do intervalo ( 0 , + ∞ ) , pois se ela for 0 , explode para o infinito. Mas como o intervalo em que ela deve ser diferenciável é aberto, não temos problemas aqui também.

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema de Rolle, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = 0 .

Pelo gráfico, vemos que só há um ponto em que isso acontece, vamos descobrí-lo:

f ' x = 1 2 - 1 2 x = 0

1 2 = 1 2 x

x = 1

x = 1

Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é 0 , então esse é o nosso cara!

c = 1

Resposta

c = 1

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Mostre que, se f for diferenciável em um intervalo aberto e se f ' x ≠ 0 no intervalo, a equação f x = 0 pode ter no máximo uma raiz no intervalo.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:A equação x 3 + 4 x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:(b) Se b 2 - 3 a c0 e se a ≠ 0 , então a equação a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 Tem exatamente uma raiz real.
Use o fato de que d [ x l n 2 - x ] d x = ln ⁡ 2 - x - x 2 - x Para mostrar que a equação x = 2 - x l n ⁡ ( 2 - x ) tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0,1 ) .