Enunciado

Mostre que a equação x 4 + 4 x + c = 0 tem no máximo duas raízes reais.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Deveremos provar que a equação dada tem no máximo duas raízes reais.

Passo 2

Suponhamos que f x = 0 tenha três raízes distintas a ,   b e d , com a < b < d , então:

f a = f b = f d = 0 .

Passo 3

Pelo Teorema de Rolle, existem números c 1 e c 2 tal que

a < c 1 < b

e

b < c 2 < d

e

f ' ( c 1 ) = f ' c 2 = 0

logo,

f ' x = 0

deve ter pelo menos duas raízes reais como solução. No entanto,

f ' x = 4 x 3 + 4

= 4 x 3 + 1

= 4 x + 1 x 2 - x + 1 = 0

possui apenas uma raiz:

x 3 + 1 = 0

x 3 = - 1

x = - 1

Sendo assim, f ( x ) tem apenas um número crítico. Sendo assim, f ( x ) pode ter pelo menos um extremo, porque existe apenas um número crítico.

E lembre-se que se f ( x ) tem n números extremos locais, então f ( x ) pode ter no máximo n + 1 zeros. f ( x ) tem 1 mínimo local, sendo assim f ( x ) pode ter pelo menos 2 zeros.

Resposta

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Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo dado. Desenhe o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em (c, f (c)).
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Seja f x = x + 1 x - 1 . Mostre que não existe c tal que f ( 2 ) - f 0 = f ' ( c ) ( 2 - 0 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?