Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 13.3 - Ex. 15

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Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva

x = 3 s e n t , y = 4 t , z = 3 cos ⁡ t na direção positiva. Onde você está agora?

Passo 1

A forma vetorial da curva dada é

r t = ( 3 s e n   t ,   4 t , 3 cos ⁡ t )

O primeiro passa desse exercício é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = ( 3 cos ⁡ t ,   4 ,   - 3   s e n   t )

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 9 cos 2 ⁡ t + 16 + 9 s e n 2 t

r ' t = 16 + 9 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t )

r ' t = 25

r ' t = 5

Passo 2

O ponto inicial da curva (0, 0, 3) corresponde a t = 0 . Assim a função comprimento de arco é dada por

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 5   d t

s t = 5 t

Passo 3

No enunciado nos é pedido o ponto para o qual temos s = 5 . Logo, utilizando a função comprimento de arco obtida no passo anterior, temos:

5 = 5 t

t = 1

Agora basta substituir t = 1 na equação vetorial da curva para obter o ponto, ou seja, a posição.

r 1 = ( 3 s e n   1 ,   4 ,   3 cos ⁡ 1 )

Resposta

( 3 s e n   1 ,   4 ,   3 cos ⁡ 1 )

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