Enunciado

Tente esboçar à mão a intersecção do cilindro parabólico y = x 2 com a metade superior do elipsoide x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16 . Escreva então as equações paramétricas para a curva e utilize um computador para traçá-la.

Passo 1

E aí, pessoal? Primeiro, vamos tentar determinar as equações paramétricas da curva.

Se estamos falando de intersecção, então devemos achar equações paramétricas que possam satisfazer as equações das duas superfícies. Vamos começar com o cilindro parabólico:

y = x 2

Uma boa parametrização pra esse cilindro é:

x = t   ,           y = t 2

Após isso, nós iremos utilizar essa parametrização em:

x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16

E assim iremos encontrar a parametrização para z . Para esboçar, iremos utilizar o GeoGebra, mas você pode utilizar o Desmos, ou outro software gráfico.

Passo 2

Agora, para o elipsoide, devemos ter:

x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16

Substituindo a parametrização que a gente encontrou no passo 1:

t 2 + 4 t 2 2 + 4 z 2 = 16

z 2 = 16 - t 2 - 4 t 4 4

Para achar uma equação paramétrica pra z , poderíamos ter dois valores ao tirar a raiz quadrada, um positivo e um negativo. Como o enunciado nos falou em metade superior do elipsoide, pegaremos a raiz positiva:

z = + 1 2 16 - t 2 - 4 t 4

Então, as equações paramétricas da curva de intersecção serão:

x = t   ,           y = t 2   ,           z = 1 2 16 - t 2 - 4 t 4

Passo 3

Agora, vamos utilizar um computador pra desenhar as duas superfícies e termos uma ideia de como é a curva de intersecção entre elas:

E utilizando as equações paramétricas já encontradas, vamos efetivamente desenhar a curva, beleza?

Resposta

x = t   ,           y = t 2   ,           z = 1 2 16 - t 2 - 4 t 4

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