Enunciado

Suponha que f ((pi)/(3)) = 4 , e f^' ((pi)/(3)) = - 2 , e faça

g (x) = f (x) sen x

e

h (x) = (cos x)/(f (x))

Encontre (a) g^' ((pi)/(3)) e (b) h ' ( (pi)/(3) ) .

Passo 1

Item a:

Precisamos, primeiramente, derivar a função g ( x ) e para isso vamos usar a regra do produto:

g^' (x) = (d)/(d x) (f (x) sen x)

g^' (x) = (d)/(d x) (f (x)) sen x + f (x) (d)/(d x) (sen x)

g^' (x) = f^' ( x ) sen x + f (x) cos x

Passo 2

Então, o valor de g^' ((pi)/(3)) é dado por:

g^' ((pi)/(3)) = f^' ( (pi)/(3) ) sen (pi)/(3) + f ((pi)/(3)) cos (pi)/(3)

g^' ((pi)/(3)) = (- 2) (sqrt(3))/(2) + 4 ((1)/(2))

g^' ((pi)/(3)) = 2 - sqrt(3)

Passo 3

Item b:

Precisamos, primeiramente, derivar a função h ( x ) e para isso vamos usar a regra do quociente:

h^' (x) = (d)/(d x) ((cos x)/(f (x)))

h^' (x) = ((d)/(d x) (cos x) f (x) - cos x (d)/(d x) (f (x)))/((f (x))^2)

h^' (x) = (- sen x f (x) - cos x f^' (x))/((f (x))^2)

Então, o valor de h^' ((pi)/(3)) é dado por:

h^' (x) = (- sen x f (x) - cos x f^' (x))/((f (x))^2)

h^' (x) = (- sen ((pi)/(3)) f ((pi)/(3)) - cos ((pi)/(3)) f^' ((pi)/(3)))/((f ((pi)/(3)))^2)

h^' (x) = (- (sqrt(3))/(2) 4 - (1)/(2) ( - 2 ))/((4)^2)

h^' (x) = (- 2 sqrt(3) + 1)/(16)

h^' (x) = (1 - 2 sqrt(3))/(16)

Resposta

(a) g^' ((pi)/(3)) = 2 - sqrt(3)

(b) h^' (x) = (1 - 2 sqrt(3))/(16)

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