Enunciado

A tabela mostra a estimativa da porcentagem da população da Europa que usa telefones celulares. (Estimativas dadas para meados do ano.)

  1. Encontre a taxa média do crescimento do número de celulares:
  2. ( i ) de 2000 a   2002   ( i i ) de 2000 a 2001   ( i i i ) de 1999 a 2000

    Em cada caso, inclua as unidades.

  3. Estime a taxa instantânea de crescimento em 2000 tomando a média de duas taxas médias da variação. Quais são suas unidades?
  4. Estime a taxa instantânea de crescimento em 2000 medindo a inclinação de uma tangente.

Passo 1

E aí galera, beleza? Essa questão aqui é sobre taxas de variação e, toda vez que falamos de taxa de variação, falamos de reta e a inclinação da reta.

Para estimarmos as taxas médias pedidas na questão, vamos ter que usar a seguinte equação (onde P e a população da europa em porcentagem, A o tempo em anos e m a taxa de variação):

m = ∆ P ∆ A = P 2 - P 1 A 2 - A 1

Nós pegamos a equação da inclinação de uma reta e adptamos às nossas variáveis. Acontece que, quando queremos estimar uma taxa média de alguma coisa, sempre podemos pegar essa equação (lembre-se que a inclinação de uma reta é uma taxa de variação!)

Passo 2

  1. Para o caso ( i ) , extraindo os valores da tabela – os pontos ( 2000 ,   55 ) e ( 2002 ,   77 ) – e jogando na equação:
  2. m = 77 - 55 2002 - 2000 = 22 2 = 11   p o r   c e n t o / a n o

    Para o caso ( i i ) , de forma semelhante, utilizando os pontos ( 2000 ,   55 ) e ( 2001 ,   68 ) :

    m = 68 - 55 2001 - 2000 = 13 1 = 13   p o r   c e n t o / a n o

    Por fim, para o caso i i i , utilizando os pontos 1999 ,   39 e 2000 ,   55 :

    m = 55 - 39 2000 - 1999 = 16 1 = 16   p o r   c e n t o / a n o

    Vale ressaltar aqui que unidade é p o r   c e n t o / a n o porque a variável P é dado em porcentagem e a variável A é dado em anos, tranquilo? Esse item já era, bora para o próximo!

    Passo 3

  3. Para estimarmos a taxa instantânea de variação no ano 2000 , iremos pegar a taxa média entre 1999 e 2000 e a taxa média entre 2000 e 2001 , fechou?
  4. Pegamos essas taxas porque ambas foram calculadas usando um ponto imediatamente antes do ano 2000 e um ponto imediatamente depois, logo, essas taxas são as mais indicadas e descartamos a taxa entre 2000 e 2002 .

    Para fazermos a estimativa, basta tirarmos a média das duas taxas que escolhemos! Vai ficar assim olha:

    m = 13 + 16 2 = 29 2 = 14,5   p o r   c e n t o / a n o

    Ah, um lembrete: a unidade continua a mesma, beleza? Bora prosseguir ;)

    Passo 4

  5. Nessa aqui, a gente precisa de uma reta que seja tangente ao ponto ( 2000 ,   55 ) . Dá uma olhada em como ficaria o gráfico dos pontos que a gente tem (vermelho) junto com uma reta tangente no ponto que a gente ta estudando (azul):

O negócio da reta tangente é que ela tem uma taxa de variação constante. Se a gente pegar essa reta do gráfico, vamos ver que temos o ponto ( 2000 ,   55 ) e outro ponto que seria ( 2001 ,   70 ) . Jogando isso na nossa fórmula, teremos:

m = 70 - 55 2001 - 2000 = 15 1 = 15   p o r   c e n t o / a n o

Esse cara aqui é uma estimativa, beleza? Como o gráfico foi feito no computador, temos mais certea do valor, mas caso o gráfico fosse feito à mão, teríamos um valor com um certo erro, mas como estamos fazendo só uma estimativa, não tem problema!

Resposta

  1. i   m = 11   p o r   c e n t o / a n o i i   m = 13   p o r   c e n t o / a n o
  2. i i i   m = 16   p o r   c e n t o / a n o

  3. m = 14,5   p o r   c e n t o / a n o
  4. m = 15   p o r   c e n t o / a n o
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