Enunciado

A tabela mostra a população da Indonésia, em milhões, para a segunda metade do século XX.

Ano População

1950 83

1960 100

1970 122

1980 150

1990 182

2000 214

(a) Supondo que a população cresça a uma taxa proporcional tamanho, use os dados do censo de 1950 e 1960 para prever a população em 1980. Compare com o real figura.

(b) Use as figuras censitárias de 1960 e 1980 para prever a população em 2000. Compare com a população real.

(c) Use os dados do censo de 1980 e 2000 para prever a população em 2010 e comparar com a população real de 243 milhões.

(d) Use o modelo na parte (c) para prever a população em 2020. Você acha que a previsão será muito alta ou muito baixo? Por quê?

Passo 1

Para esse problema, temos a taxa de crescimento relativa que é a taxa de crescimento dividida pela população. Chamamos P ( t ) a população mundial em função do tempo em horas e k , sendo a taxa de crescimento relativa, temos:

k = P ' t P t

Ou também,

d P d t = k P

Em que as soluções exponenciais sempre são do tipo: y t = y 0 e k t .

Passo 2

Tomamos 1950 como o valor inicial com uma população de 83 milhões, e após 10 anos temos uma população de 100 milhoes, podemos dizer que:

P 1960 = 100 = P 1950 e k × 1 0

83 e k × 10 = 100

e k × 10 = 1,205

Aplicando o logaritmo natural,

ln ⁡ e k × 10 = ln ⁡ 1,205

k = ln ⁡ 1,205 10

Tendo o valor de k é só aplicar para P 1980 , lembrando que t = 1980 - 1950 = 30

P 1980 = P 1950 e k × 30

P 1980 = 83 e ln ⁡ 1,205 10 × 30

P 1980 = 145,224 milhões

Chegou-se pouco próximo ao valor real.

Passo 3

Para a letra (b), tomamos 1960 como o valor inicial com uma população de 100 milhões, e após 20 anos temos uma população de 150 milhoes, podemos dizer que:

P 1980 = 150 = P 1960 e k × 20

100 e k × 2 0 = 15 0

e k × 20 = 150 100

Aplicando o logaritmo natural,

ln ⁡ e k × 2 0 = ln ⁡ 150 100

k = ln ⁡ 150 100 2 0

Tendo o valor de k é só aplicar para P 2 0 00 , lembrando que t = 2000 - 19 60 = 4 0

P 2000 = P 196 0 e k × 4 0

P 2000 = 100 e ln ⁡ 150 100 20 × 4 0

P 2000 = 225 milhões

Ultrapassou-se o valor real.

Passo 4

Para a letra (c), tomamos 1980 como o valor inicial com uma população de 150 milhões, e após 20 anos temos uma população de 214 milhoes, podemos dizer que:

P 2000 = 214 = P 1980 e k × 20

150 e k × 20 = 214

e k × 20 = 214 150

Aplicando o logaritmo natural,

ln ⁡ e k × 20 = ln ⁡ 214 150

k = ln ⁡ 214 150 20

Tendo o valor de k é só aplicar para P 2010 , lembrando que t = 2010 - 1980 = 30

P 2010 = P 1980 e k × 30

P 2010 = 150 e ln ⁡ 214 150 20 × 30

P 2010 = 2 55,61 milhões

O resultado foi um pouco maior do valor real.

Passo 5

Para a letra (d), tomamos 1980 como o valor inicial com uma população de 150 milhões, e após 20 anos temos uma população de 214 milhoes, podemos dizer que:

P 2000 = 214 = P 1980 e k × 20

150 e k × 20 = 214

e k × 20 = 214 150

Aplicando o logaritmo natural,

ln ⁡ e k × 20 = ln ⁡ 214 150

k = ln ⁡ 214 150 20

Tendo o valor de k é só aplicar para P 202 0 , lembrando que t = 2020 - 1980 = 4 0

P 202 0 = P 1980 e k × 4 0

P 202 0 = 150 e ln ⁡ 214 150 20 × 4 0

P 20 2 0 = 305,306 milhões

O resultado provavelmente será um pouco maior do valor real, pois usamos os mesmos dados da letra (c).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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