Enunciado

Um tanque cilindro com raio de 5   p é s e altura de 9   p é s tem 2 / 3 cheios de água. Encontre o trabalho necessário para bombear toda água por cima da borda superior do tanque.

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima. Podemos cortar nosso volume de água em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x e raio de 5   p é s . Logo, o volume delas é:

V = 5 2 π d x = 25 π d x   p é 3

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a 62,4   I b / p é 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 62,4 V = 1560 π d x   I b

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 9 - x   p é s

Sendo que x vai de 0 a 6   p é s .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d =   1560 π d x ⋅ 9 - x = 1560 π 9 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ 0 6 1560 π 9 - x d x = 56160   π   p é s ⋅ I b

Resposta

W t o t a l = 56160 π   p é s ⋅ I b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Lei de Newton da Gravitação Universal para calcular o trabalho necessário para lançar verticalmente um satélite de 1000 kg a uma órbita de 1000 km de altura. Você pode supor que a massa da Terra
Um balde de 10 kg, furado, é levantado do chão até uma altura de 12 m a uma velocidade constante, por uma corda que pesa 0,8 kg/m. Inicialmente o balde contém 36 kg de água, mas a água vaza a uma taxa
A Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois corpos com massas m 1 e m 2 atraem um ao outro com uma força de: F = G m 1 m 2 r 2 Onde r é a distância entre os corpos e G é a constante gravit
Um cabo que pesa 2 lb/pés é utilizado para erguer 800 lb de carvão em uma mina com profundidade de 500 pés. Encontre o trabalho realizado.