Enunciado

Um tanque com a forma de um hemisfério tem sobre si um cilindro circular reto. O raio de ambos, o hemisfério e o cilindro, é 4 m e a altura do cilindro é de 8 m. Se o tanque estiver cheio de água, ache o trabalho necessário para esvaziar o tanque bombeando água através de uma abertura na borda do tanque. Tome a aceleração da gravidade como sendo 10 m/ s 2

Passo 1

Vou colocar uma foto de um hemisfério com um cilindro reto, caso você não saiba:

Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.

A origem será no centro do hemisfério.

Temos um certo problema, pois temos dois elementos de natureza especial diferentes, um é hemisfério e o outro é um cilindro.

Então vamos fazer os trabalhos um de cada vez. Chamaremos de W 1 o trabalho no cilindro e W 2 o trabalho no hemisfério. Queremos a soma desses dois trabalhos!

Passo 2

Vamos para W 1 primeiro:

w 1 será um ponto qualquer no intervalo x i - 1 , x i e iremos escolher uma partição de - 8,0 . Lembra que a origem é no centro do hemisfério hein!

Será igualmente para W 2 , apenas a partição irá mudar será de 0,4

Vamos pensar no nosso elementinho para os dois casos, a espessura será a mesma. Tranquilo? Será o nosso   ∆ i x

Pensando no cilindro ( W 1 ) ,temos que o raio do elementinho é igual ao raio do cilindro e poderemos calcular a área, desse jeito!

16 π

O volume do elementinho para o cilindro será:

16 π   ∆ i x

Agora vamos pensar no hemisfério, temos que o raio de elementinho é a coordenada em y , porém sabendo que a posição em x é dada por w 1 :

16 - w 1 2

A área será:

π 16 - w 1 2

O volume para o elementinho do hemisfério será:

π 16 - w 1 2   ∆ i x

Passo 3

O peso de 1 k g   de água, vamos chamar de w .

A distância percorrida pelo elementinho será:

w 1 + 8

O peso do elementinho do cilindro será:

w 16 π   ∆ i x

E o trabalho do elementinho do cilindro vai ser isso aqui ó:

w 16 π   ∆ i x w 1 + 8

Pensando em todos os elementinho teremos do cilindro, teremos:

W 1 = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n w 16 π   ∆ i x w 1 + 8

W 1 = 16 w π ∫ - 8 0 x + 8 d x = 16 w π ∫ - 8 0 x + 8 d x = 16 w π x 2 2 0 - 8 + 8 x 0 - 8 = 512 π w

E agora tentaremos achar W 2 e vamos conseguir!

A distância percorrida é a mesma nos dois casos!

O peso do elementinho do hemisfério será:

w π 16 - w 1 2   ∆ i x

O trabalho do pequeno elemento:

w π 16 - w 1 2   ∆ i x ( w 1 + 8 )

Agora para todos os elementos, é essa paradinha aqui!

W 2 = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n w π 16 - w 1 2   ∆ i x ( w 1 + 8 )

W 2 = w π ∫ 0 4 16 - x 2 x + 8 d x = w π ∫ 0 4 - x 3 - 8 x 2 + 16 x + 128 d x

Calculando essa integral temos:

W 2 = w π - x 4 4 - 8 x 3 3 + 16 x 2 2 + 128 x 4 0 = w π 1216 3 = 1216 w π 3

Para terminar, somaremos o W 1 e W 2 :

W = W 1 + W 2

W = 512 π w + 1216 w π 3

W = 2752 3 π w J

Resposta

W = 2752 3 π w J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um meteorito está a a km do centro da Terra e cai sobre a sua superfície. A força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância de um corpo ao centro da Tera. Ache o trabalho reali
Um tanque cilíndrico circular reto com uma profundidade de 10 m e um raio de 5 m está cheio de água até a metade. Ache o trabalho necessário para que a água seja bombeada até a borda do tanque.
Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retangular com 6 m de profundidade, 4 m de largura e 2 m de comprimento e está cheio de óleo pesando 50 kg/ m 3 . Quando um terço do trabalho necessário para
Enquanto um saco de farinha está sendo levantado a uma altura de 3 m, a farinha vaza segundo uma taxa tal que o número de quilos perdidos seja diretamente proporcional à raiz quadrada da distância per
Um motor com 1 cavalo motor (hp) pode fazer 8.250 J de trabalho por segundo. Se um motor com 0,1 hp for usado para bombear água de um tanque cheio com a forma de um paralelepípedo retangular com 6 m d