Enunciado

Um recipiente tem a forma e as dimensões de um sólido de revolução descrito pela rotação da região no primeiro quadrante, limitada pela parábola x 2 = 4 p y ,pelo eixo y e pela reta y = p , em torno do eixo y . Se o recipiente estiver cheio de água, ache o trabalho realizado para se bombear toda água até um ponto 3p acima da borda do recipiente 3 p m acima da borda do recipiente. Tome a aceleração da gravidade igual a 10 m/s.

Passo 1

Escolheremos o eixo como nos eixos cartesianos, y positivo para cima e x positivo para direita.

Iremos escolher uma partição do intervalo de 0 , p . E para vermos a soma de Riemann, teremos um ponto qualquer w i no subintervalo y i - 1 , y i .

Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!

Passo 2

Agora vamos imaginar um pouquinho! Pensa num elemento muito fino, vamos apelida-lo de elementinho, a sua espessura será: ∆ i y

Esse elementinho será um disco circular com centro no eixo y , seu raio será x i , o volume do elementinho é:

π x i 2 ∆ i y

E pensaremos no peso do elementinho, chamaremos de K o peso de 1 kg de água, então o peso do elementinho será:

K π x i 2 ∆ i y

Passo 3

Já temos o peso, teremos que calcular a distância, lembrando que a posição do ponto, quando y i - 1 , é muito próximo de y i , é igual a w i .

Qual seria a distância percorrida? Ora, é a distância do fundo do recipiente menos a posição do objeto:

4 p - w i

Quando w i é a posição em y , temos que:

x i 2 = 4 p w i

Voltando para o nosso elementinho, faremos o volume e o trabalho em função de w i :

V = π 4 p w i ∆ i y

W e l e m e n t o z i n h o = K π 4 p w i ∆ i y 4 p - w i

Pensando em todos os elementinhos teremos:

W = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n K π 4 p w i ∆ i y 4 p - w i = 4 π K ∫ 0 p 4 p - y y d y

Para finalizar! Já estava na hora né, calcularemos essa integral:

W = 4 π K ∫ 0 p 4 p - y y d y = 16 π K p ∫ 0 p y d y - 4 π K ∫ 0 p y 2 d y = 16 π K p y 2 2 p 0 - 4 π K y 3 3 p 0

W = 16 π K p p 2 2 - 4 π K p 3 3 = 20 p 3 3 π K

Lembrando K = 9810 N , temos:

W = 65400 p 3 π   J o u l e s

Resposta

W = 65400 p 3 π   J o u l e s

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