Enunciado

Um tanque tem a forma de um sólido obtido ao girar a região limitada pela curva y = ln ⁡ x , pelo eixo x e pelas retas x = e e x = e 2 em torno do eixo x . Se o tanque estiver cheio de água, qual o trabalho feito ao bombear toda água até a borda do tanque? A distância é medida em metros. Tome o eixo x positivo vertical e orientado para baixo.

Passo 1

A questão pede para calcularmos o trabalho necessário para bombear toda a água de um tanque até a sua borda. O tanque é obtido pela rotação da região delimitada pela curva y = ln ⁡ x e as retas x = e , x = e 2 e y = 0 em torno do eixo x . Uma visão em corte desse sólido é mostrada na figura a seguir:

Para visualizar o sólido, pensa nessa figura rotacionada em torno do eixo x . Assim, cada faixa horizontal do tanque será um disco de raio R , como denotado na figura. Podemos escrever R como função de x :

R x = y = ln ⁡ x

Assim, a área de cada fatia (disco) será A x = π R 2 = π ln ⁡ x 2 . Vamos considerar que cada uma dessas fatias tem uma espessura pequena Δ x , de modo que o volume de uma fatia localizada na posição x = x i vai ser

Δ V i = A x i Δ x = π   ln ⁡ x i 2   Δ x

A massa de cada uma dessas fatias será

Δ m i = ρ   Δ V i = ρ π   ln ⁡ x i 2   Δ x ,

onde ρ é a densidade da água.

O trabalho é o produto da força pelo deslocamento. No caso, a força é a força gravitacional, dada por

Δ F i = Δ m i   g = ρ g π   ln ⁡ x i 2   Δ x ,

onde g é a aceleração gravitacional. Para essa fatia localizada na posição x = x i , o deslocamento necessário para levá-la até a borda do tanque ( x = e ) será

d i = x i - e

Assim, o trabalho feito para essa fatia será

Δ W i = d i   Δ F i = ρ g π   x i - e   ln ⁡ x i 2   Δ x

Portanto, o trabalho total será

W = ∑ i Δ W i = ∑ i ρ g π   x i - e   ln ⁡ x i 2   Δ x

Tomando o limite com Δ x i → 0 , essa soma vira a integral:

W = ρ g π ∫ e e 2 x - e   ln ⁡ x 2   d x

Aqui acabou a parte de física e modelagem, agora é só cálculo!

Passo 2

Vamos reescrever a integral do trabalho como

W ρ g π = I = ∫ e e 2 x - e   ln ⁡ x 2   d x

Para calcular essa integral, vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = ln ⁡ x 2 e d v = x - e d x , temos que

d u = 2 ln ⁡ x x d x           e             v = x 2 2 - e x

Assim,

I = ln ⁡ x 2 x 2 2 - e x e e 2 - ∫ e e 2 2 ln ⁡ x x ⋅ x 2 2 - e x   d x

Assim,

I = 4 e 4 2 - e 3 - e 2 2 - e 2 - 2 ∫ e e 2 ln ⁡ x   x 2 - e   d x

Portanto,

I = 2 e 4 - 4 e 3 + e 2 2 - ∫ e e 2 ln ⁡ x   x - 2 e   d x = 2 e 4 - 4 e 3 + e 2 2 - I 1

Passo 3

Queremos calcular I 1 :

I 1 = ∫ e e 2 ln ⁡ x   x - 2 e   d x

Para isso, vamos aplicar partes de novo com u = ln ⁡ x e d v = x - 2 e   d x :

d u = 1 x d x           e             v = x 2 2 - 2 e x

Assim,

I 1 = ln ⁡ x   x 2 2 - 2 e x e e 2 - ∫ e e 2 1 x ⋅ x 2 2 - 2 e x   d x

Portanto,

I 1 = 2 e 4 2 - 2 e 3 - e 2 2 - 2 e 2 - ∫ e e 2 x 2 - 2 e d x

Logo,

I 1 = e 4 - 4 e 3 + 3 2 e 2 - x 2 4 - 2 e x e e 2 = e 4 + 3 e 2 2 - 4 e 3 - e 4 4 - 2 e 3 - e 2 4 + 2 e 2

Desta forma,

I 1 = e 4 + 3 e 2 2 - 4 e 3 - e 4 4 + 2 e 3 - 7 e 2 4 = 3 e 4 4 - e 2 4 - 2 e 3

Assim, podemos achar I :

I = 2 e 4 - 4 e 3 + e 2 2 - I 1 = 2 e 4 - 4 e 3 + e 2 2 - 3 4 e 4 + e 2 4 + 2 e 3

Portanto,

I = 5 4 e 4 + 3 4 e 2 - 2 e 3

Por fim, temos que

W ρ g π = I ⇒ W = ρ g π 5 4 e 4 + 3 4 e 2 - 2 e 3

Usando ρ = 1000   k g / m 3 e g ≈ 9,8   m / s 2 , obtemos W ≈ 1,03 ⋅ 10 6   J

Resposta

ρ g π 5 4 e 4 + 3 4 e 2 - 2 e 3 ≈ 1,03 ⋅ 10 6   J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exercício ∫ 16 x 3( l nx ) 2 d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.28. ∫ 0 π 1 2 ( cos ⁡ x + cos ⁡ x ) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.34. ∫ - 1 0 π x - 1 d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.32. ∫ 0 1 3 d x 1 + 4 x 2
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.25. ∫ π 2 π s e n2 x 2 s e n x d x