Enunciado

Temperaturas Uma placa circular plana tem o formato da região x 2 + y 2 ≤ 1 . A placa, incluindo a fronteira onde x 2 + y 2 = 1 , é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto ( x , y ) é

T ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 - x .

Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios da placa.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Observe que a placa achatada tem formato da região x 2 + y 2 ≤ 1 . A chama incluindo a fronteira onde x 2 + y 2 = 1 é aquecida de forma que a temperatura no ponto ( x , y ) é

T ( x , y ) = x 2 + 2 y - x

Encontraremos as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios da placa.

Passo 2

As derivadas parciais da função T ( x , y ) = x 2 + 2 y - x são:

T x ( x , y ) = 2 x - 1 = 0 T y ( x , y ) = 4 y = 0

Resolvendo as equações descobrimos que:

x = 1 2 y = 0

E o ponto encontrado tem valor T 1 2 , 0 = - 1 4 .Na fronteira x 2 + y 2 = 1 , temos que

T ( x , y ) = - x 2 - x + 2  no intervalo  - 1 ≤ x ≤ 1

Neste caso a derivada da função vale:

T ' ( x , y ) = - 2 x - 1 = 0

Resolvendo encontramos:

x = - 1 2 y = ± 3 2

Os valores encontrados para os pontos são:

T - 1 2 , 3 2 = 9 4 T - 1 2 , - 3 2 = 9 4 T ( - 1,0 ) = 2 T ( 1,0 ) = 0

Neste caso o ponto mais quente é - 1 2 , 3 2 e - 1 2 , - 3 2 e seu valor é 2 1 4 o. O mais frio é

- 1 4 ∘  e ocorre em  1 2 , 0

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m 3 de volume e com a forma de um paralelepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas lat
Encontre os pontos da curva x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 80 = 0 mais próximos da origem. Desenhe a curva.
Considere a forma quadrática Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 , ande a , b e c são constantes não simultaneamente nulas. Seja g x , y = x 2 + y 2 - 1 . Suponha que x 0 , y o ,z 0 seja solução do sist
Determine o ponto do planox + 2 y - 3 z = 4 mais próximo da origem.
Determine o ponto do elipsoide x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 que maximiza a soma x + 2 y + z .