Enunciado

Determine o ponto do elipsoide x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 que maximiza a soma x + 2 y + z .

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x + 2 y + z

g = x 2 + 4 y 2 + z 2 - 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 .

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 1,2 , 1

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 2 x , 8 y , 2 z

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

1,2 , 1 = λ 2 x , 8 y , 2 z x 2 + 4 y 2 + z 2 - 1 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

1 = 2 x λ 2 = 8 y λ 1 = 2 z λ x 2 + 4 y 2 + z 2 - 1 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

x = 1 2 λ y = 1 4 λ z = 1 2 λ

Substituindo isto na última equação do sisteminha, ficamos com

1 2 λ 2 + 4 1 4 λ 2 + 1 2 λ 2 - 1 = 0

Rearranjando,

1 2 + 4 1 2 2 + 1 2 - 2 λ 2 = 0

Ou seja, o resultado é λ = ± 3 2 , ou λ 1 = 3 2 e λ 2 = - 3 2 . Temos dois pontos candidatos!

Passo 4

Agora que temos os pontos candidatos, vamos substituir λ 1 e λ 2 na função f e ver o que que dá.

Primeiramente, claro, devemos recuperar x , y e z através do sisteminha:

x = 1 2 λ y = 1 4 λ z = 1 2 λ

Assim, para λ 1 = 3 2 , temos

x = 1 3 y = 1 2 3 z = 1 3

Assim, a f fica

f λ 1 = x + 2 y + z = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3 3 = 3 3 3 = 3

O que significa este resultado? Ainda não sabemos! Poderia ser o máximo ou o mínimo! Devemos comparar com o valor de f para λ 2 para termos certeza!

Passo 5

Finalmente, para λ 2 = - 3 2 , temos

x = - 1 3 y = - 1 2 3 z = - 1 3

Assim, a f fica

f λ 2 = x + 2 y + z = - 1 3 - 1 3 - 1 3 = - 3 3 = - 3

O que significa este resultado? Bem, temos claramente que f λ 2 < f λ 1 . Logo, é f λ 1 que é o máximo! Assim, as coordenadas ( x , y , z ) do máximo são aquelas associadas a f λ 1 , ou seja:

1 3 ,   1 2 3 ,   1 3

Resposta

1 3 ,   1 2 3 ,   1 3

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