Enunciado

Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinador artigo. Se o custo de produção é dado por C = 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60 e o valor obtido na venda é dado por R = 60 x - 12 x 2 , determinador o número ótimo de unidades mensais que maximizam o lucro L = R - C .

Passo 1

A ideia nessa questão será equacionar o lucro em função do número de unidades x e em seguida maximizar essa função. Como ele já nos disse, o lucro obtido será L = R - C . Assim,

L = 60 x - 12 x 2 - 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60

Simplificando:

L x = - 2 x 3 - 18 x 2 + 42 x - 60

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma ideia de sempre, derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Derivando,

L ' x = 3 × - 2 x 2 + 2 × - 18 x + 42

Fazendo as contas:

L ' x = - 6 x 2 - 36 x + 42

Igualando a zero:

- 6 x 2 - 36 x + 42 = 0

Dividindo por 6 em ambos os lados:

- x 2 - 6 x + 7 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = 6 ± - 6 2 - 4 × - 1 × 7 2 × - 1

Assim,

x = 6 ± 8 2 × - 1

Isso nos dá as seguintes soluções:

x = - 7 ou x = 1

Passo 3

Agora vamos verificar quais das soluções maximizam o lucro.

L x = - 2 x 3 - 18 x 2 + 42 x - 60

Para x = - 7 :

L - 7 = - 2 × - 7 3 - 18 × - 7 2 + 42 × - 7 - 60

Fazendo as contas:

L - 7 = - 550

Para x = 1 :

L 1 = - 2 × 1 3 - 18 × 1 2 + 42 × 1 - 60

Fazendo as contas

L 1 = - 38

Assim, vemos que a o lucro é maximizado quando x = 1 , isto é, 1.000 unidades

Resposta

1.000 unidades

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