Enunciado

Determine as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V , de forma que sua área total seja mínima.

Passo 1

Para começar, podemos fazer uma ilustração da lata. Considerando um raio r e uma altura h , o volume vai ficar o seguinte:

V = A b a s e × h

Logo,

V = π r 2 h       ( i )

Passo 2

Certo, agora já temos uma expressão envolvendo r e h . Como queremos que a área total seja mínima, vamos montar uma expressão. Se liga nessa ilustração:

A t o t a l = A l a t e r a l + 2 A t a m p a

Repare que a largura será o comprimento da circunferência, isto é:

l = 2 π r

Então a área lateral fica o seguinte:

A l a t e r a l = 2 π r h

E para a área da tampa:

A t a m p a = π r 2

Portanto,

A t o t a l = 2 π r h + 2 π r 2

Para minimizar a A t o t a l , vamos colocar a expressão acima em função apenas de r . Do passo 1:

V = π r 2 h → h = V π r 2

Substituindo na expressão da área total:

A t o t a l = 2 π r × V π r 2 + 2 π r 2

Simplificando:

A t o t a l r = 2 V r + 2 π r 2

Passo 3

Agora vamos derivar e achar os pontos críticos, vem comigo!

A t o t a l ' r = - 1 × 2 V r 2 + 2 × 2 π r

Assim,

A t o t a l ' r = - 2 V r 2 + 4 π r

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a zero:

- 2 V r 2 + 4 π r = 0

Logo,

4 π r 3 = 2 V → r 3 = V 2 π

Isto é,

r = V 2 π 3

Opa, então já achamos o raio. Para o volume, vamos voltar na equação ( i ) . Assim,

V = π V 2 π 3 2 h

Portanto,

h = 4 V π 3

Resposta

Raio:

r = V 2 π 3

Altura:

h = 4 V π 3

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