Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

122. a n =   n   +   1 n

Passo 1

Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo que a gente resolve essa.

Para saber se a sequência converge, temos que testar se ela é limitada e monotônica. A primeira parte a gente consegue verificar se a sequência tem um limitante inferior e um superior. A segunda parte a gente consegue testando se a sequência é decrescente ou crescente. Em ambos os casos ela é monotônica. Antes de começar, vamos reescrever a sequência

a n =   n   +   1 n = 1   +   1 n

Passo 2

Vamos testar se a sequência é limitada. Para isso, temos que notar que

0 <   1 n ≤ 1

Então, somando 1 na desigualdade, obtemos

1 < 1 +   1 n ≤ 2

1 < a n ≤ 2

Ou seja, a sequência é sim limitada.

Passo 3

Por último, mas não menos importante, vamos testar a monotonicidade. Para isso, precisamos notar que

a n = n   +   1 n

e

a n + 1   = 1 +   1 n   +   1   =   n   +   2 n   +   1  

O próximo passo é tomar a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n = n   +   2 n   +   1 - n   +   1 n = n ( n   +   2 )   -   ( n   +   1 ) ( n   +   1 )   n ( n   +   1 )  

⇒ a n + 1 - a n = n 2   +   2 n     -   n 2   -   2 n   -   1 n ( n   +   1 )   =   - 1 n ( n   +   1 )

Como n   ≥ 1   , então   a n + 1 - a n <   0 . Logo,

a n + 1 <   a n  

Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Como é limitada e monotônica, então converge.

Resposta

Converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Teoria e exemplos: Prove que underset(n - oo)(l i m) root(n)(n) = 1 .
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.117. a n = 2 n -1 2 n
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas. a n = n - 1 n
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.120. O primeiro termo de uma sequência é x 1 = c o s( 1 ) . Os próximos termos são
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.115. a n = 1 - 1 n