Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 55
Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é
Em que é a massa de repouso da partícula, é a massa quando a partícula se move com velocidade em relação ao observador e é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de como uma função .
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?!
O enunciado nos dá uma função que modela a massa de uma partícula, segundo a teoria da relatividade e pede pra a gente esboçar o seu gráfico:
Em que é a massa de repouso da partícula, é a massa quando a partícula se move com velocidade em relação ao observador e é a velocidade da luz.
Queremos desenhar o gráfico de como uma função .
Passo 2
Primeiramente iremos verificar o domínio de :
O denominador não pode ser igual a zero e a raiz não pode ser negativa, então:
Consideramos a partícula se movendo apenas em um sentido e a velocidade positiva.
Passo 3
Agora vamos falar de intersecção dos eixos! Para encontrarmos a intersecção com o eixo vertical, fazemos:
Não há interseção com o eixo horizontal .
Passo 4
Aqui poderíamos verificar a existência de simetrias. Mas ao invés disso vamos olhar pra nossa função e pensar um pouquinho:
Fisicamente sabemos que a massa vai ser sempre positiva, olhando a função acima também podemos perceber isso. Além disso na física a velocidade negativa diz respeito ao sentido da trajetória da partícula.
Para facilitarmos a nossa vida podemos considerar que a partícula só anda pra direita! Com e positivos não precisamos nos preocupar com a existência de simetrias!
Passo 5
Temos que verificar também a existência de assíntotas: Para assíntotas horizontais temos que ter .
Sabemos que não pertence ao domínio da função, e terminamos de combinar no passo anterior que os valores negativos vão ficar de fora. Dessa forma não temos assíntotas horizontais.
Para assíntotas verticais fazemos:
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical.
Passo 6
Para achar intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada da nossa função:
Para temos . Então está crescendo em . Não existem pontos de máximo nem mínimo locais.
Passo 7
Calculamos a segunda derivada pra descobrir a concavidade:
Manipulando :
Como , então possui concavidade para cima em . Não existem pontos de inflexão na função.
Passo 8
Agora sim, podemos desenhar o gráfico: