Enunciado

Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é

m = m 0 1 - v 2 c 2  

Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando a partícula se move com velocidade v em relação ao observador e c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma função v .

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?!

O enunciado nos dá uma função que modela a massa de uma partícula, segundo a teoria da relatividade e pede pra a gente esboçar o seu gráfico:

m = m 0 1 - v 2 c 2  

Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando a partícula se move com velocidade v em relação ao observador e c é a velocidade da luz.

Queremos desenhar o gráfico de m como uma função v .

Passo 2

Primeiramente iremos verificar o domínio de f ( v ) :

m = m 0 1 - v 2 c 2  

O denominador não pode ser igual a zero e a raiz não pode ser negativa, então:

1 - v 2 c 2 > 0

v 2 c 2 < 1

v < c

Consideramos a partícula se movendo apenas em um sentido e a velocidade positiva.

Passo 3

Agora vamos falar de intersecção dos eixos! Para encontrarmos a intersecção com o eixo vertical, fazemos:

f 0 = m 0 1 - 0 c 2   = m 0

Não há interseção com o eixo horizontal v .

Passo 4

Aqui poderíamos verificar a existência de simetrias. Mas ao invés disso vamos olhar pra nossa função e pensar um pouquinho:

m = m 0 1 - v 2 c 2  

Fisicamente sabemos que a massa vai ser sempre positiva, olhando a função acima também podemos perceber isso. Além disso na física a velocidade negativa diz respeito ao sentido da trajetória da partícula.

Para facilitarmos a nossa vida podemos considerar que a partícula só anda pra direita! Com m e v positivos não precisamos nos preocupar com a existência de simetrias!

Passo 5

Temos que verificar também a existência de assíntotas: Para assíntotas horizontais temos que ter lim x → ± ∞ ⁡ y = L .

Sabemos que não pertence ao domínio da função, e terminamos de combinar no passo anterior que os valores negativos vão ficar de fora. Dessa forma não temos assíntotas horizontais.

Para assíntotas verticais fazemos:

lim v → c - ⁡ m 0 1 - v 2 c 2   = ∞

Dessa forma, em v = c temos uma assíntota vertical.

Passo 6

Para achar intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada da nossa função:

f v = m 0 1 - v 2 c 2  

f '     ( v ) = - 1 2 m 0 1 - v 2 c 2 3 2 - 2 v c

f '     v = m 0 v c 1 - v 2 c 2 3 2

Para v > 0 temos f ' v > 0 . Então f ( v ) está crescendo em ( 0 ,   c ) . Não existem pontos de máximo nem mínimo locais.

Passo 7

Calculamos a segunda derivada pra descobrir a concavidade:

f ' ' v = m 0 c 1 - v 2 c 2 3 2 - m 0 v c 3 2 1 - v 2 c 2 ∙ - 2 v c 2 1 - v 2 c 2 3

Manipulando f ' ' ( v ) :

f ' ' v = m 0 1 - v 2 c 2 3 2   1 + 3 v 2 1 - v 2 c 2 - 1 c 1 - v 2 c 2 3

f ' ' v = m 0   1 + 3 v 2 1 - v 2 c 2 - 1 c 1 - v 2 c 2 3 / 2

Como f ' ' v > 0 , então f ( v ) possui concavidade para cima em ( 0 ,   c ) . Não existem pontos de inflexão na função.

Passo 8

Agora sim, podemos desenhar o gráfico:

Resposta

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