Enunciado

Se f for contínua e int_0^9 f (x) d x = 4 , encontre int_0^3 x f (x^2) d x .

Passo 1

Nessa questão temos a seguinte integral:

int_0^9 f (x) d x = 4

Sendo f uma função contínua. E temos que encontrar:

int_0^3 x f (x^2) d x

Pra isso vamos pega essa última integral e usar substituição simples. Onde:

u = x^2

(d u)/(d x) = 2 x -> d x = (1)/(2 x) d u

Além disso precisamos alterar os limites de integração:

u = x^2 -> 3^2 = 9

u = x^2 -> 0^2 = 0

Substituindo:

int_0^3 x f (x^2) d x = int_0^9 x f (u) ((1)/(2 x) d u)

(1)/(2) int_0^9 f (u) d u

Passo 2

Agora tá moleza, pois:

int_0^9 f (u) d u = int_0^9 f (x) d x = 4

Eu sei que são variáveis diferentes, mas é só a forma com que a gente chama a variável! O valor não muda. Seria a mesma coisa da gente ter as funções:

f (x) = x + 1

f (u) = u + 1

Uma é em função de x e outra de u , mas se substituirmos o mesmo valor nelas teremos o mesmo resultado final!

Então:

(1)/(2) int_0^9 f (u) d u = (1)/(2) xx 4 = 2

Prontinho!

Resposta

int_0^3 x f (x^2) d x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolve a integral abaixo:25 – int_0^(pi) sqrt(1 - s e n^2 t) d t
Resolve a integral abaixo:24 – int_0^(pi) sqrt(1 - c o s ( 2 x )) d x
Calcule a Integral abaixo:19 - int 16 s e n^2 x cos^2 x d x
Calcule a Integral abaixo:17 - int_0^(pi) 8 s e n^4 x d x
Calcule a Integral abaixo:13 - int cos^2 x d x