Enunciado

Se f for contínua e int_0^4 f (x) d x = 10 , encontre a integral int_0^2 f (2 x) d x .

Passo 1

Nessa questão temos a seguinte integral:

int_0^4 f (x) d x = 10

Sendo f uma função contínua. E temos que encontrar:

int_0^2 f (2 x) d x

Pra isso vamos pega essa última integral e usar substituição simples. Onde:

u = 2 x

(d u)/(d x) = 2 -> d x = (1)/(2) d u

Além disso precisamos alterar os limites de integração:

u = 2 x -> 2 (2) = 4

u = 2 x -> 2 (0) = 0

Substituindo:

int_0^4 (1)/(2) f (u) d u = (1)/(2) int_0^4 f (u) d u

Passo 2

Agora tá moleza, pois:

int_0^4 f (u) d u = int_0^4 f (x) d x = 10

Eu sei que são variáveis diferentes, mas é só a forma com que a gente chama a variável! O valor não muda. Seria a mesma coisa da gente ter as funções:

f (x) = x + 1

f (u) = u + 1

Uma é em função de x e outra de u , mas se substituirmos o mesmo valor nelas teremos o mesmo resultado final!

Então:

(1)/(2) int_0^4 f (u) d u = (1)/(2) xx 10 = 5

Prontinho!

Resposta

int_0^2 f (2 x) d x = 5

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