Enunciado

Um termômetro é tirado de uma sala na qual a temperatura é 20 ° C e levado para fora, onde a temperatura é 5 ° C. Depois de 1 minuto a leitura no termômetro é 12 ° C.

(a) Qual será a leitura no termômetro depois de mais um minuto?

(b) Quando a leitura no termômetro será 6 ° C?

Passo 1

Eaee, belezinha??Bom... O enunciado nos diz o seguinte:

“Um termômetro é tirado de uma sala na qual a temperatura é 20 ° C e levado para fora, onde a temperatura é 5 ° C. Depois de 1 minuto a leitura no termômetro é 12 ° C.”

A partir disso queremos descobrir a leitura no termômetro depois de mais um minuto e o tempo que levará para a leitura marcar 6 ° C .

Para isso, temos que saber da Lei de Resfriamento de Newton.

Essa Lei nos diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

Onde T é a temperatura em função do tempo t , a constante T s é a temperatura do meio circundante e k é a taxa de resfriamento relativa e constante.

Tranquilo até aí? Então bora prosseguir com um pouquinho mais de raciocínio nisso 😉

Passo 2

Se, por mudança de variáveis chamarmos T ( t ) - T s de y ( t ) temos:

y t = T t - T s

Derivando a equação em função de t :

y ' t = T ' t

Logo:

y ' t = k y

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou

T ( t ) - T s = T ( 0 ) - T s e k t

Passo 3

Se quando t = 1 minuto, o termômetro com temperatura inicial T 0 = 20 ° C, em um meio circundante com temperatura T s = 5 ° C, apresenta a temperatura T 1 = 12 ° C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:

T ( 1 ) - T s = T ( 0 ) - T s e k × 1 ∴

12 - 5 = 20 - 5 e k ∴

7 = 15 e k ∴

e k = 7 15 ∴

k = ln ⁡ 7 15

Logo, a temperatura obedece a função:

T ( t ) - 5 = 15 × e ln ⁡ 7 15 t

Passo 4

Item a:

Agora, para achar a temperatura no segundo minuto é só encontrar T ( 2 ) :

T ( 2 ) - 5 = 15 × e ln ⁡ 7 15 2 ∴

T 2 = 7 15 2 × 15 + 5 ∴

T 2 = 8,266667 ° C

Logo, a leitura no termômetro depois de mais um minuto será de aproximadamente 8 °C.

Passo 5

Item b:

O termômetro terá esfriado para 6 ° C quando T t = 6 , portanto, devemos achar o t para que isso aconteça:

T ( t ) - 5 = 15 × e ln ⁡ 7 15 t ∴

6 - 5 = 15 × 7 15 t ∴

7 15 t = 1 15 ∴

ln ⁡ 7 15 t = ln ⁡ 1 15 ∴

t = ln ⁡ 1 15 ln ⁡ 7 15 ∴

t = 3,55321859

Logo, o termômetro terá esfriado para 6 ° C após aproximadamente 3,6 minutos.

Resposta

(a) No segundo minuto a temperatura é de aproximadamente 8 °C.

(b) O termômetro terá esfriado para 6 ° C após aproximadamente 3,6 minutos.

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