Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(j = 1)^(oo) (- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5)

Passo 1

Bom, sabemos de que se trata de uma série alternada, certo? Mas você concorda comigo que o termo a_j da série sum_(j = 1)^(oo) (- 1)^j a_j tá chamando um “Teste da Divergência”?

Bom, vamos conferir se a série é absolutamente convergente, então (#ficaadica: sempre que você se deparar com uma série alternada em que você se sente confortável em lidar com o termo a_n da série, procure testar a convergência absoluta ):

underset(j -> oo)(lim) |(- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5)| = underset(j -> oo)(lim) (sqrt(j))/(j + 5) underset(L^' H o p i t a l)(->) underset(j -> oo)(lim) (1)/(2 sqrt(j)) = 0

Passo 2

Opa! Viu só?! Acabamos de constatar que a nossa série é absolutamente convergente. Logo, nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5) é convergente

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