Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n 2^((1)/(n))

Passo 1

Opa! É uma série alternada? Nada melhor do que usar o “Teste da Série Alternada”, certo? Vamos lá...

Nosso termo a_n da série alternada sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n a_n é:

a_n = 2^((1)/(n))

Vamos aplicar os 2 procedimentos do “Teste da Série Alternada”

( i ) Uma vez que 2^((1)/(n + 1)) < 2^((1)/(n)) para qualquer n > 1 , temos que a_n + 1 < a_n por toda a série;

( i i ) Calculando o seguinte limite:

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(lim) 2^((1)/(n)) = 2^(underset(n -> oo)(lim) (1)/(n)) = 2^0 = 1

Passo 2

Como podemos observar acima, deu tudo certo com o critério ( i ) . Mas como o critério ( i i ) não foi satisfeito, chegamos à conclusão de que a série é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n 2^((1)/(n)) é divergente

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