Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ π n

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada para a serie com

b n = cos ⁡ π n

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

cos ⁡ π n + 1 < cos ⁡ π n

O argumento do cosseno vai variar de π / 2 até 0 a medida que n aumenta, considerando apenas n ≥ 2 , o termo com n = 1 sozinho não vai implicar na divergência da série, e neste intervalo o valor do cosseno vai de 0 até 1 , aumentando, então a comparação está errada e devia ser

cos ⁡ π n + 1 > cos ⁡ π n

O que desobedece a primeira regra do teste da série alternada, levando a série a divergir.

Resposta

Diverge.

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