Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(n = 1)^(oo) (tg^(- 1) n)/(n sqrt(n))

Passo 1

Para checarmos a convergência desta série, vamos usar o teste da comparação.

Para isto, sejam sum a_n e sum b_n duas séries de termos não negativos, então, se sum b_n for uma série convergente e 0 <= a_n <= b_n para todo n >= p (não importa o valor de p , apenas este comportamento), então, sum a_n é uma série convergente.

Mas sim, para quê enunciamos esse teorema? Para isto, precisamos lembrar do seguinte ponto: qual a imagem da função tg^(- 1) n ? A sua imagem é:

- (pi)/(2) < tg^(- 1) n < (pi)/(2)

Portanto, temos:

(tg^(- 1) n)/(n sqrt(n)) < (pi)/(2) * (1)/(n sqrt(n)) = (pi)/(2) * (1)/(n^(3 // 2))

Como sum_(n = 1)^(oo) (pi)/(2) * (1)/(n^(3 // 2)) = (pi)/(2) * sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^(3 // 2))

É uma p-série com p = 3 // 2 > 1 , então esta série é convergente. Pelo teste da comparação, temos que a nossa série da questão também é convergente

Resposta

A série é convergente.

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