Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 + 1  

Passo 1

Um série ∑ a n qualquer é dita absolutamente convergente quando a série de valores absolutos ∑ | a n | for convergente.

Caso a série seja convergente, porém não absolutamente convergente, ou seja, ∑ a n converge porém ∑ | a n | diverge, a série é dita condicionalmente, convergente.

Com esta informação, vamos analisar a série dada pelo enunciado, assumindo que ela seja convergente.

Passo 2

Vamos verificar se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

Temos que

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 1

Pois o termo - 1 n = 1 .

Devemos escolher um método para avaliar se esta série converge ou não.

Neste caso, vamos utilizar o Teste de Comparação.

Para um n   grande, o termo dominante no denominador é n 3 , assim, comparamos a série acima com a série ∑ 1 / n 3 . Esta é uma série p com p = 3 . Sabemos que para p > 1 , este tipo de série converge.

Aplicando o método de verificação, temos que

1 n 3 + 1 ≤ 1 n 3

Como o denominador no lado esquerdo é sempre maior ou igual o denominador do lado direito, a relação apresentada é verdadeira. Sendo assim, como o a série ∑ 1 / n 3 converge, a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 1 também será convergente.

Neste caso, a série dada pela questão é absolutamente convergente.

Resposta

absolutamente convergente

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