Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

24. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙   ⋯   ∙ 3 n + 2

Passo 1

Pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Podemos dizer que, se L < 1 a série é convergente, e se L > 1 a série é divergente.

Aplicando o teste na série dada, o limite fica assim:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙   ⋯   ∙ ( 3 n + 2 ) 3 ( n + 1 ) + 2 2 n n ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙   ⋯   ∙ 3 n + 2

Invertendo o denominador e multiplicando pelo numerador:

L = l i m n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙   ⋯   ∙ ( 3 n + 2 ) 3 n + 5 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙   ⋯   ∙ 3 n + 2 2 n n !

Simplificando os termos iguais:

L = l i m n → ∞ 2 n + 1 ! 3 n + 5 n !

E como todos os termos são positivos, se tirarmos do módulo fica a mesma coisa:

L = l i m n → ∞ 2 n + 1 ! 3 n + 5 n !

Passo 2

Se aplicarmos o limite agora, cairemos em uma determinação ∞ / ∞ , vamos abrir o n + 1 ! uma vez para simplificarmos:

L = l i m n → ∞ 2 n + 1 n ! 3 n + 5 n ! = L = l i m n → ∞ 2 n + 1 3 n + 5

Como ainda temos a mesma indeterminação, vamos colocar n   em evidencia no numerador e no denominador:

L = l i m n → ∞ 2 n 1 + 1 n n 3 + 5 n

Simplificando:

L = l i m n → ∞ 2 1 + 1 n 3 + 5 n

Passo 3

Agora sim podemos aplicar o limite, os termos com n no denominador tendem para zero, sobrando só:

L = 2 1 3 = 2 3

Como L < 1 , a série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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