Enunciado

Calcule o comprimento da curva:

x = 1 + 3 t^2 , y = 4 + 2 t^3 , 0 <= t <= 1

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = int_a^b [[sqrt(1 + (((d y)/(d t))/((d x)/(d t)))^2) (d x)/(d t) d t],[]]

Passando (d x)/(d t) ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x e y , certo?

x = 1 + 3 t^2

d x = 6 t d t

((d x)/(d t))^2 = 36 t^2

y = 4 + 2 t^3

d y = 6 t^2 d t

((d y)/(d t))^2 = 36 t^4

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = int_0^1 sqrt(36 t^2 + 36 t^4) d t

L = int_0^1 sqrt(36 t^2 ( 1 + t^2 )) d t

L = int_0^1 6 t sqrt((1 + t^2)) d t

Ainda que algumas coisas tenham saído da raiz, a integral não tá com sua melhor cara. Que tal fazermos uma substituição:

u = 1 + t^2

d u = 2 t d t

(d u)/(2 t) = d t

L = int_0^1 6 t sqrt(u) (d u)/(2 t)

L = int_0^1 3 sqrt(u) d u

L = 3 int_0^1 sqrt(u) d u

Integrando:

L = 3 * (2)/(3) u^((3)/(2)) (1)/(0)

Desfazendo a substituição e tomando os limites da integração:

L = 2 ( 1 + t^2 )^((3)/(2)) (1)/(0)

L = 2 * 2^((3)/(2)) - 2

L = 2 ( 2 sqrt(2) - 1 )

Resposta

L = 2 ( 2 sqrt(2) - 1 )

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Calcule o comprimento da curva dada: a ) γ t = t cos ⁡ t , t sin ⁡ t ,t ∈ 0 ,2 π
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Seja γ : a . b → R n , com derivada contínua, e tal que γ ' u ≠ 0 em a , b . Seja s : a , b → R dada por s t = ∫ a t γ ' u d u .a) Verifique que a função s = s t é inversível e seja t = t s sua invers