Responde Aí

Enunciado

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 2 - r 2 3   d z   r   d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 2 - r 2 3 r   d z   d r   d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 3 r z r 1 2 - r 2 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r 1 2 - r 2 - r d r   d θ

∫ 0 2 π 3 ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 2 d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 π 3 ( ∫ 0 1 r 2 - r 2 d r -   ∫ 0 1 r 2 d r )     d θ

Passo 3

Façamos na primeira parte da integral de d r   u = 2 - r 2 , logo d u = - 2 r d r ,   de forma que d r = - d u 2 r Temos que quando r = 0 ,   u = 2 e quando r = 1 ,   u = 1 . Assim temos:

∫ 0 2 π 3 ( ∫ 2 1 - 1 2 u d r - ∫ 0 1 r 2   d r )   d θ

Usando para a primeira parte de d r que agora é d u a propriedade de que ∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x   . Assim:

∫ 0 2 π 3 ( - ∫ 1 2 - 1 2 u   d r - ∫ 0 1 r 2 d r )   d θ

∫ 0 2 π 3 1 2 2 u 1 2 1 2 - 1 3 r 3 0 1 d θ

∫ 0 2 π 3 2 - 4   d θ

3 2 - 4 x 0 2 π

2 π 3 2 - 4

Resposta

2 π 3 2 - 4