Enunciado

Encontre o volume comum a duas esferas, cada uma com raio r , se o centro de cada esfera estiver na superfície da outra esfera.

Passo 1

Primeiramente vamos desenhar a situação do problema para ficar mais claro que está acontecendo. Temos, então

Onde o círculo vermelho tem centro - r 2 , 0 e sua equação é dada por

x + r 2 2 + y 2 = r 2

Enquanto que o círculo azul tem centro r 2 , 0 e sua equação vai ser dada por

x - r 2 2 + y 2 = r 2

Pela simetria temos que o volume da região da esquerda em torno do eixo x e o volume da região da direita em torno do eixo x são iguais. Então, o volume total é dado por V = 2 V 1 onde V 1 será dado por

V 1 = ∫ 0 r 2 π y 2 d x = ∫ 0 r 2 π ⋅ r 2 - x + r 2 2   d x

V 1 = ∫ 0 r 2 π ⋅ r 2 d x - ∫ 0 r 2 π ⋅ x + r 2 2 d x = π r 3 2 - 7 π r 3 24 = 12 π r 3 - 7 π r 3 24 = 5 π r 3 24

Sendo assim, nosso volume total será dado por

V = 2 V 1 = 5 π r 3 12

Resposta

5 π r 3 12

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